Субъективная вероятность

Втр, 06/25/2013 - 15:26

Закон больших чисел

Одним из основных положений теории вероятностей является Закон больших чисел, выраженный в ряде теорем, важнейшая из которых была доказана в середине XIX века российским математиком П.Л.Чебышевым. Закон больших чисел гласит, что совместное действие большой совокупности случайных факторов приводит, при некоторых весьма общих условиях, к среднему результату, почти не зависящему от случая. Иными словами, в случае достаточно большой выборки (например, очень большого числа подбрасываний монеты) возможно значительное количество маловероятных совпадений (количество выпадений орлов и решек будет одинаково).

Ошибка игрока в казино

Суть ошибки игрока в казино — неправильное представление о справедливости закона больших чисел. Игроку кажется, что равнозначность сторон монеты дает ему право ожидать, что любое отклонение в одном направлении будет скоро скомпенсировано соответствующим отклонением в другую сторону. Действительно, некоторые распространенные процессы в природе подчиняются таким законам: отклонение от устойчивого равновесия порождает силу, которая восстанавливает равновесие. Законы вероятности, напротив, не работают подобным образом: отклонения не отменяются по мере перебора элементов выборки. Многие же люди считают, что процессы в выборке — это самокорректирующиеся процессы.

Рассмотрим человека, чьи субъективные вероятности для всех возможных результатов подбрасывания монеты отражают ошибку игрока в казино. Этот человек будет уверен в том, что вероятность появления решки при каждом конкретном подбрасывании увеличивается с числом последовательно выпавших орлов, которые предшествовали этому подбрасыванию Суждения такого человека могут быть внутренне, или субъективно, последовательными и поэтому приемлемыми как адекватные субъективные вероятности. Однако эти вероятности не будут совместимы с тем фактом, что у монеты нет памяти, и поэтому монета не способна производить последовательные зависимости в соответствии с законом больших чисел.

Исследования восприятия случайных событий показывают, что, когда людей просят смоделировать случайный процесс, такой же, как серии подбрасываний монеты, они создают последовательности, которые репрезентативны закону больших чисел локально, то есть на коротком отрезке. Ошибка игрока в казино является проявлением убежденности в локальной репрезентативности: если соотношение двух результатов сохраняются на коротких отрезках, то за длинной последовательностью одного результата для восстановления равновесия должен идти другой результат.

Американский математик Уильям Феллер в одной из своих книг по теории вероятностей описывает пример, который иллюстрирует ошибочную веру в локальную репрезентативность. Во время интенсивной бомбежки Лондона во Вторую мировую войну считалось, что выбор целей бомбежки не может быть случайным, потому что некоторые районы города были поражены несколько раз, в то время как на многие другие районы бомбы не падали совсем. Таким образом, рисунок попаданий бомб нарушил закон локальной репрезентативности, а гипотеза случайности попаданий казалась недопустимой. Чтобы проверить эту гипотезу, всю территорию Лондона разделили на маленькие области равной площади. Фактическое распределение попаданий бомб на этих участках сравнили с ожидаемым распределением согласно предположению о том, что бомбежки велись по случайному принципу. Вопреки ожиданиям, было получено очень сильное соответствие между распределениями. По мнению У.Феллера, для нетренированного глаза случайность кажется упорядоченностью или тенденцией к группировке.

Впоследствии был даже введен термин — «заблуждение стрелка», обозначающий иллюзии скопления. Этот термин возник благодаря истории о некоем техасце, который от нечего делать начал не целясь палить по задней стенке своего амбара. В результате этого развлечения следы от пуль случайным образом образовали округлую фигуру, в которой стрелявший узрел глаз быка.

Так, в эпидемиологии, когда фиксируют отдельные случаи какого-либо заболевания, зачастую создается иллюзия многочисленности заболевших, проживающих в географически компактном участке, что приводит к поиску причинной связи между заболеванием и местным окружением. Таким образом, случайные взаимосвязи рассматриваются как статистически значимые.

Доступность

Бывают ситуации, в которых люди оценивают вероятность событий на основе легкости, с которой они вспоминают примеры случаев или событий. Например, можно оценивать вероятность риска сердечного приступа среди людей средних лет, вспоминая такие случаи среди своих знакомых. Тогда более молодые люди будут утверждать, что таких случаев мало, а более старшие, что таких случаев много, и, соответственно, рассчитывать субъективную вероятность сердечного приступа, например, у своих близких или у себя.

Легкая доступность восстановления событий в памяти способствует формированию предубеждений в оценке вероятности события. Например, был проведен такой эксперимент. Нескольким группам испытуемых зачитывали список известных людей обоих полов и затем попросили оценить, каких имен в списке было больше — мужских или женских. При этом разным группам предлагали разные списки. В одних списках мужчины были более известны, чем женщины, а в других — женщины были более известны, чем мужчины, хотя общее число мужчин и женщин во всех списках было одинаково. Испытуемые ошибочно утверждали, что пол, к которому принадлежали более известные люди, был более многочисленным.

Неопределенность порождает субъективность

Неопределенность — это факт, с которым все формы жизни вынуждены бороться. На всех уровнях биологической сложности существует неопределенность относительно возможных последствий событий и действий, и на всех уровнях действие должно предприниматься до того, как прояснена неопределенность. И должен быть достигнут надлежащий баланс между высшим уровнем специфической готовности к событиям, которые произойдут с наибольшей вероятностью, и общей способностью реагировать соответствующим образом, когда случается непредвиденное. Таким образом, перед нами вырисовывается некая модель поведения субъекта в ситуации неопределенности, и это поведение в свою очередь является неопределенным в силу своей субъективности.

Индивидуальность, производящая действие или принимающая решение, опирается на свои субъективные предпочтения. В идеале степени предпочтений должны быть согласованы с аксиомами теории вероятностей, но, увы, рациональный идеал никогда не достижим фактически, хотя и может служить в качестве определенного стандарта…

Томас Байес родился в 1702 году в Лондоне, в семье одного из первых шести пресвитерианских священников в Англии. По существовавшим среди кальвинистов правилам, как сын духовного лица Байес получил сугубо домашнее образование, рано проявил очень большие способности к математике, однако пошел по стопам отца и в 1720-е годы стал священником пресвитерианского прихода в городке Танбридж Уэллс, что примерно в 50 километрах от Лондона. На духовной службе Байес оставался вплоть до 1752 года, после отставки продолжал жить в Танбридж Уэллсе, здесь же и закончил свою жизнь 9 лет спустя, 17 апреля 1761 года.

Среди современных ему английских ученых Байес был человеком весьма известным и в 1742 году был избран в члены Лондонского Королевского общества, даже несмотря на тот факт, что священником не было опубликовано ни одной работы по математике. Более того, при жизни Байеса, строго говоря, под его именем не вышло вообще ни одной научной работы. Единственная работа отца Байеса, опубликованная им под своим именем (в 1731 году), носила сугубо теологический характер и имела характерно предлинное для той эпохи название «Благость Господня, или попытка доказать, что конечной целью божественного провидения и направления является счастье его созданий». Помимо этой работы, в 1736 году Байесом анонимно была опубликована статья «Введение в теорию флюксий, или В защиту математиков от нападок автора The Analyst (Комментатора)». Здесь Байес защищал ньютоновскую теорию дифференциального исчисления от атаки Джорджа Беркли, пытавшегося с метафизических позиций раскритиковать неправильные, на его взгляд, логические основания мощнейшей математической теории.

Что же касается фундаментального исследования Байеса в области теории вероятностей, то оно было изложено им в «Эссе о решении проблем в теории случайных событий». Эту работу математика лишь после его смерти обнаружил друг Ричард Прайс, который и переслал статью в академию. В 1764 году это «Эссе» было опубликовано в «Трудах Лондонского Королевского общества».

Теорема Байеса, имеющая сегодня сильнейшее влияние на современные разработки программного обеспечения, имеет дело с расчетом вероятности верности гипотезы в условиях, когда на основе наблюдений известна лишь некоторая частичная информация о событиях. Главная особенность теоремы Байеса в том, что для ее практического применения обычно требуется огромное количество вычислений-пересчетов, именно поэтому расцвет методов байесовых оценок пришелся на революцию в компьютерных информационных технологиях.

Даниэл Канеман (род. в Тель-Авиве, 1934 г.) — израильско-американский психолог, один из основоположников психологической (поведенческой) экономической теории, лауреат Нобелевской премии по экономике 2002 г. «за применение психологической методики в экономической науке, в особенности — при исследовании формирования суждений и принятия решений в условиях неопределенности» (совместно с В.Смитом).

Жизнь Д.Канемана ярко демонстрирует космополитизм современных ученых. Начав учебу в Еврейском университете в Иерусалиме (в 1954 г. получил степень бакалавра по специальности «психология и математика»), Канеман закончил ее уже в Калифорнийском университете Беркли (в 1961 г. получил докторскую степень по специальности «психология»). На протяжении последующих 17 лет он преподавал в Еврейском университете Иерусалима, совмещая это с работой в ряде университетов США и Европы (Кембридж, Гарвард, Беркли). С конца 1970-х Канеман на время отошел от работы в Израиле, занимаясь совместными научными проектами с американскими и канадскими учеными в научно-исследовательских центрах этих стран. С 1993 г. он работает профессором в Принстонском университете США, с 2000 г. параллельно вновь ведет обучение в Еврейском университете Иерусалима.

Хотя по образованию и профессии Д.Канеман является психологом, присуждение ему Нобелевской премии по экономике в 2002 г. вызвало одобрение среди экономистов, признающих большое значение его трудов для экономической науки. Канеман стал первым израильтянином и вторым «не-экономистом» (после математика Джона Нэша), который получил Нобелевскую премию по экономике.

Главный объект исследований Канемана — это механизмы принятия человеком решений в ситуации неопределенности. Он доказал, что принимаемые людьми решения существенно отклоняются от того, что предписано стандартной экономической моделью homo-economicus. Критикой модели «человека экономического» занимались и до Канемана, но именно он и его коллеги впервые начали систематически изучать психологию принятия решений.
По мнению Нобелевского комитета, продемонстрировав, насколько плохо люди умеют прогнозировать будущее, Д. Канеман «с достаточным основанием поставил под вопрос практическую ценность фундаментальных постулатов экономической теории».

Другие материалы рубрики


  • ...Хроническая активация стрессовой реакции может иметь неблагоприятные последствия для здоровья. Если глюкоза постоянно мобилизуется, вместо того, чтобы запасаться, то здоровые ткани атрофируются, и наступает истощение. Сердечно-сосудистые изменения со временем приводят к гипертензии (стойкому повышению кровяного давления), что плохо сказывается на сердце, кровеносных сосудах и почках. Кроме того, когда анаболические («строительные») процессы без конца откладываются, организм расплачивается нарушением восстановления тканей, снижением плодовитости, ослаблением функций иммунной системы и повышением вероятности развития язвенной болезни желудка и двенадцатиперстной кишки. Постоянная активация ответа организма на стресс может быть вредна, хотя мало кто проживет долго, если не способен к этой реакции...

    • Страницы
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4
    • 5


  • ...Интересной особенностью психических нарушений у лиц, страдающих неврозом навязчивости, является то, что во всем прочем эти больные — вполне разумные люди. Более того, они отдают себе отчет в абсурдности поведения, связанного с навязчивыми мыслями, и все-таки не могут самостоятельно подавить их. В результате невроз навязчивости причиняет немало страданий. Если симптомы заболевания выражены в тяжелой степени, больной нередко выглядит нелепо. Возможно, отчасти из-за того, что больные понимают бессмысленность своих ритуальных действий и навязчивых мыслей, они могут долго скрывать их и, стремясь производить впечатление нормальных, совершают такие действия лишь в одиночестве и избегают ситуаций, в которых окружающие могли бы обнаружить их странные “зависания”. Как правило, симптомы заболевания скрываются годами и больной обращается за помощью только тогда, когда утаить свое состояние уже нельзя, так как из-за него он вынужден пренебрегать школой или работой и общественными обязанностями...

    • Страницы
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4


  • ...Очень интересно, отметить, что этот закон перекликается с другим неписаным законом:
    «Нет ничего тайного, что со временем не стало известным». (Взято из Евангелия — Мар.4:22. Прим.ред.)
    Замечено, что справедливость закона Мерфи возрастает с приобретением жизненного опыта, особенно это заметно после 50...60 лет.
    Конечно, не всем людям нравится закон Мерфи. Это объясняет своим парадоксом Силвермен:
    Если с законом Мерфи может произойти что-либо плохое, оно непременно произойдет.
    «...Небольшое количество людей выражает протест против Закона Мерфи, мотивируя это тем что он противоречит общей вере в позитивное мышление. Мы же считаем, что любое подобное отождествление Закона Мерфи с пессимизмом и негативностью в лучшем случае недальновидно, а в худшем (т.е. вероятнее всего) — симптомом глубоко укоренившегося недоразумения...».

    • Страницы
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4


  • ...Не стремитесь сразу навязывать свое эмоциональное расположение, ввязываться во внутренние разборки или привлекать излишнее внимание экстравагантным поведением и т.п. Хотя бы на первых порах, придя на новую работу, общайтесь с коллективом как можно более ровно и формально вежливо. А если вам уж больно необходимо внимание со стороны — найдите пока способ реализовать эту потребность вне вашего рабочего места; разумеется, если вы этим местом дорожите...

    • Страницы
    • 1
    • 2
    • 3


  • Панические атаки — это довольно распространённое психологическое отклонение, хотя и стоящее в психиатрии немного в стороне от других проблем. По статистике приступ необоснованной паники хотя бы раз испытывал каждый человек, а у 6-7% населения такое состояние повторилось и впоследствии стало возникать регулярно. Существуют общие и индивидуальные симптомы проявления панических атак. Однако их выявление у больного имеет смысл только после того, как он понял, что с ним происходит.