Великая теорема Ферма. Часть 2

Сб, 02/21/2015 - 22:02

Габриэль Ламе

Петер Густав Лежен Дирихле

Женская эстафета

Итак, Эйлер доказал теорему Ферма для первого простого числа. Далее события могли развиваться в двух независимых направлениях. Можно было по очереди доказывать теорему Ферма для всех простых чисел (5, 7, 11 и так далее), но из-за бесконечности простых чисел это были бы досужие развлечения, так как в принципе вопроса решить не могли. Так как теорема Ферма не имеет какого-либо практического применения, то ее решение вообще можно отнести в разряд своеобразных забав для любителей и профессионалов математики. Тем не менее опыт Эйлера показал, что если сама теорема и не имеет практического толка, то работа над ее доказательством может «породить хорошую математику». Для качественного прорыва в решении теоремы Ферма нужно было идти по пути обобщения в области простых чисел. Первый шаг в этом направлении был сделан женщиной.

Да. Следующим математическим гением, продвинувшим решение теоремы Ферма, стал не профессионал математик, а любитель (а точнее, любительница) математики, талантливейшая женщина Софи Жермен. Не будем забывать, что на дворе конец 18 века (Софи Жермен родилась в 1776 году). А по мнению современников Софи, женщина-профессор, занимающая должность в каком-либо университете, да еще и во Франции — это то же самое, что и мужчина-роженица. Софи родилась в богатой, но не дворянской семье, поэтому революция пощадила ее. В 13 лет она увлеклась математикой, и как оказалось — очень плодотворно. Говоря, что Софи Жермен непрофессиональный математик, мы имели в виду, что математика не была ее профессией, которой она зарабатывала на жизнь, но математическое образование она все-таки получила и получила его своеобразным путем.
В знаменитую Политехническую школу женщин не брали на обучение, а разгильдяев брали. Одним из таких разгильдяев был Антуан Огюст Леблан. Большого таланта в овладении математикой он не проявлял, а затем и вовсе покинул Париж, ничего не сказав руководству школы, которое продолжало печатать для него лекции и давать задания, которые под его именем решала Софи Жермен. Решала она их настолько искусно, что руководитель мсье Леблана знаменитый Лагранж не мог не заметить метаморфозы, произошедшей с его студентом, и потребовал встречи с ним. Когда подлог раскрылся, Лагранж пожелал остаться учителем талантливой девушки.

Вскоре Софи Жермен заинтересовалась теоремой Ферма и стала работать над ней. Она не доказала теорему Ферма в целом и для какой-либо степени в частности, но сделала некоторое открытие, которое сдвинуло доказательство с места, а прорывов в этом направлении после Эйлера не было уже более 70 лет. Софи Жермен доказала следующее свойство теоремы Ферма. Если уравнение xp +yp= zp , где p — простое число вида p=2n+1, n — тоже простое число разрешимо относительно p, то либо x, y не взаимно простые и имеют общий делитель p, либо z делится на p. Благодаря этому свойству, в 1825 году, независимо друг от друга Адриен Мари Лежандр и Густав Лежен Дирихле доказали теорему Ферма для пятой степени. В 1839 году Габриэль Ламе, используя модифицированный метод Жермен доказал теорему для n=7. Вообще после работ Жермен доказательства теоремы Ферма разделились на два неравновеликих потока. Первая группа доказательств (более многочисленная) основывается на предположении о том, что x, y, z являются взаимно простыми (не имеют общего делителя нацело). Вторая группа направлена на доказательство того, что z делится на p. Доказательства этой группы используют метод бесконечного спуска. После работ Жермен можно было уточнить область решения теоремы следующим образом. х, y, z — взаимно простые числа, x, y, p — взаимно простые, иначе взаимно простые z, p.

Французская Академия наук утвердила медаль и три тысячи франков за разрешение теоремы Ферма. В математическом сообществе тех времен царствовало настроение, что решение теоремы уже не за горами, что это вопрос ближайшего времени. И вот 1 марта 1847 года в Академии собралось заседание, на котором выступил Ламе. Он заявил, что вплотную приблизился к доказательству теоремы Ферма и изложил ход своих рассуждений, пообещав при этом, что уже через неделю представит детальные доказательства. Но вслед за Ламе выступил Огюст Луи Коши, который утверждал, что тоже далеко продвинулся в этом вопросе, и тоже предоставит свои рукописи с доказательством. И Коши и Ламе очень спешили, каждый хотел быть первым, время пошло на дни, но ни тот, ни другой еще не знали (и так никогда и не узнали, потому что не дожили), что до разрешения Великой теоремы Ферма оставалось еще 147 лет. Но Ламе и Коши продолжали трудиться и, наконец, опубликовали некоторые подробности своих доказательств. Внимание математического общества всего мира было приковано к разворачивающимся во Французской академии наук событиям, все с нетерпением ждали публикации полных версий доказательств. Но 24 мая на заседании Академии наук Лиувиль зачитал перед французскими математиками письмо их немецкого коллеги Эрнста Куммера. Прочитав публикации предварительных доказательств Ламе и Коши, Куммер нашел в них принципиальную ошибку. Дело в том, что они основывались на единственности факторизации (см. выше), но, как показал Куммер, комплексные числа не обладают этим свойством. Он же показал, как обойти эту проблему для простых чисел до 31. Также Куммер указал, что наиболее трудно обойти эту проблему у простых чисел 59 и 67. Ни Ламе, ни Коши так и не удалось обойти эту проблему.

Упомянутого нами Эрнста Куммера можно сравнить с Софи Жермен, он тоже не доказал теорему Ферма, но большинство последующих работ в этом направлении основывается на его новой идее. Идея заключается в следующем. Куммер создал арифметическую теорию кругового поля, из которой он разложил с помощью функции e2(Pi)i/p уравнение xp + yp на множители. На основе своего принципиально нового подхода Куммер доказал теорему Ферма для всех простых меньших 100. Используя его метод, было разработано много оценочных критериев для теоремы Ферма. Большинство из них слишком сложны, чтобы их можно было привести здесь. Только некоторые из них достаточно просты в формулировке. Так, Инкери доказал, что если 03, то x>0.5p3p-4, а в случае взаимно простых x, y, px>((2p3+p)/(ln3p)).

Другие материалы рубрики


  • Будучи юристом по профессии и занимаясь математикой на досуге, для праздного удовольствия, Пьер де Ферма — как он выразился сам — «… установил множество исключительно красивых теорем». При этом он не представил на суд ни одного доказательства, упомянув, что лично ему все эти задачи удалось решить, бросая, как показало время, вызов не одному поколению сильнейших математиков.

    • Страницы
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4