Великая теорема Ферма. Часть 2

Сб, 02/21/2015 - 22:02

Пауль Волфскель

Эндрю Уайлс

Популяризация теоремы Ферма

Однажды один молодой потомственный немецкий промышленник влюбился, но любовь его была неразделенной, он расстроился, загрустил и решил застрелиться. Делал он все с присущей немцам последовательностью. Привел дела в порядок и ровно в полночь решил покончить с жизнью. Перед самоубийством ему не спалось (почему-то), он решил полистать математический журнал (он увлекался математикой, искусствами и был меценатом) и увидел там статью Куммера. Ему показалось, что он нашел там ошибку. Второпях он набросал обоснование и, довольный собой, решил не стреляться. Звали молодого человека Пауль Волфскель. Потом оказалось, что его математические подозрения были неверными, но это уже было не важно, для истории теоремы Ферма это имело определенный поворот. Дело в том, что после своей смерти Пауль Вольфскел завещал сто тысяч немецких марок тому, кто докажет теорему Ферма. Это очень большие деньги. По современным меркам это более 4 млн. долларов. Даже сейчас немного найдется (если найдется вообще) таких больших премий. Этот щедрый жест привел к тому, что Великая теорема Ферма стала невероятно популярна в среде непрофессиональных математиков. Ведь существует великое множество нерешенных математических проблем, и по сути ничем не обосновано, что именно теорема Ферма столь популярна. Благодаря Вольфскелю и подобным ему меценатам поднялся такой большой ажиотаж вокруг этой проблемы.

После описанных событий вопрос опять застопорился. С одной стороны, его пытались решить сотни тысяч людей, но с другой стороны, ничего качественно нового обнаружить не удавалось.

L и M ряды

Для дальнейшего изложения необходимо сделать некоторые теоретические пояснения, без которых большей части читателей далее станет непонятно, а потому и неинтересно. По личному мнению автора, научно-популярная статья должна быть понятна как можно более широкому кругу читателей, иначе в ней нет смысла: она становится научной и печататься должна в соответствующих изданиях для теоретически подготовленной публики.
Мы будем подразумевать под эллиптическими уравнениями уравнения следующего вида.

ay2 + ky= bx3 + cx2 + dx + e;

a, b, c, d, e — могут быть любыми целыми числами в том числе и нулями (кроме а); х, y в нашем случае тоже целые. Решение таких уравнений — задача не тривиальная (то есть она не имеет общего алгоритма, как, например, квадратные или кубические уравнения), поэтому в каждом конкретном случае решение эллиптического уравнения является отдельной проблемой. Точно известно, что эллиптическими уравнениями занимался Диофант, сам Ферма и многие другие видные математики.
Так как решить эллиптическое уравнение подчас очень непросто, то еще в XIX веке ученые применили для их исследования метод, который исходит к седой древности и называется арифметикой вычетов. Арифметику вычетов можно представить как непозиционную систему исчисления. Наша система счета, которая использует 10 цифр от 0 до 9, является позиционной, так как имеет значение не просто величина цифры, но и то, на каком месте она расположена. Так, числа 110 и 101 разные, хотя состоят из одних и тех же цифр, потому что цифры в них расположены на разных местах.

Арифметика вычетов нагляднее всего может быть описана на примере часов или календаря. В сутках двадцать четыре часа, для наглядности представим и часы с таким циферблатом, на котором нанесено 24 часа, а не 12 как обычно. Такие часы очень полезны там, где трудно различить время суток, например, на подводных лодках или на полярных станциях. Пусть в нашей обычной системе исчисления нам нужно сложить 8 и 22. Нетрудно посчитать, что в сумме мы получим 30. В случае с часами, в которых всего 24 элемента (часа), числа 30 там вообще нет, мы должны прибавить до максимального элемента 22+2=24 и оставшиеся шесть начать считать с нуля, мы получим 6. Действительно, солдат, который ложится спать в 22-00 и спать по распорядку должен 8 часов, проснется не в 30-00, а в
6-00, только уже на следующий день. Максимально возможное количество элементов называется модулем. В нашем примере мы использовали арифметику вычетов по модулю 24, вообще же модуль можно брать какой угодно. Так вот, в арифметике вычетов легче найти решение уравнения, так как количество элементов там ограниченно. Но это будут не те решения, которые мы можем сопоставить с десятиричной позиционной системой исчисления. Тем не менее, находя количество решений в арифметиках с разным модулем для конкретного эллиптического уравнения, можно составить так называемый L-ряд уравнения, по которому можно исследовать уравнение. Каждое уравнение имеет свой L-ряд. Так для уравнения y2-y = x3-x2 имеем такой ряд: L1 = 1, L2 = 4, L3 = 4, L4= 8, L5 = 4, L6 = 16, L7 = 9, L8 = 16; На этом с эллиптическими уравнениями и L-рядами закончим и перейдем к модулярным формам и M-рядам.

Модулярные формы пояснить не так просто, как эллиптические уравнения, но для наших целей это совсем и не обязательно. Главное, что мы должны знать о модулярных формах, — это то, что они есть. Одно из свойств модулярных форм — это разного рода симметрия. Симметрию легко представить, подойдя к зеркалу. Человеческое тело обладает внешней анатомической симметрией. Симметрий есть много. Например, человек симметричен только вдоль одной оси, окружность симметрична относительно двух перпендикулярных осей — это большая степень симметрии, сфера очень симметричная фигура. Рисунок из регулярно выложенных квадратов обладает трансляционной симметрией, то есть его можно передвигать относительно осей, таким же типом симметрии могут обладать и кристаллические решетки. Еще одной важной для нас особенностью модулярных форм является их разложимость в M-ряд, который отражает симметричность модулярных форм. Этой теории достаточно, чтобы понять, что происходило с доказательством Великой теоремы Ферма во второй половине XX века.

Другие материалы рубрики


  • Будучи юристом по профессии и занимаясь математикой на досуге, для праздного удовольствия, Пьер де Ферма — как он выразился сам — «… установил множество исключительно красивых теорем». При этом он не представил на суд ни одного доказательства, упомянув, что лично ему все эти задачи удалось решить, бросая, как показало время, вызов не одному поколению сильнейших математиков.

    • Страницы
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4