Великая теорема Ферма. Часть 2

Сб, 02/21/2015 - 22:02

Неожиданные связи

Связь первая. В 50-е годы в Японии два молодых японских математика Ютака Танияма и Горо Шимура занимались модулярными формами. Все бы ничего, не они первые, но им удалось обнаружить интересную связь. Каждому M-ряду всегда можно было подобрать L-ряд. Ничто не указывало на то, что между этими понятиями может быть связь, это разные области математики. В 1955 году на международном симпозиуме в Токио они предложили участникам прокомментировать 4 задачи, в которых демонстрировалась связь между M- и L-рядами. После этого мировое математическое сообщество взялось за проверку этой связи. Действительно, всегда оказывалось, что какую бы модулярную форму ни брали, всегда можно было найти ей соответствующее эллиптическое уравнение. Но доказать теорию Танияма-Шимуры никому не удавалось. Очевидно было, что эта теорема настолько сложна, что математики даже и не надеялись на ее скорое доказательство.

Связь вторая. Выступая на симпозиуме 1984 года в Обервольфахе, Герхард Фрей сделал такое преобразование с теоремой Ферма. Он допустил, что решение теоремы Ферма существует. Он обозначил его А, В, С. Следовательно, теорема Ферма примет вид
Ар + Вр = Ср

Затем он сделал некоторые преобразования с теоремой и получил следующее уравнение.

y2 = x3 + (Ap — Bp)x2 — ApBp

Это форма теоремы Ферма, если она разрешима в целых числах, но это же и эллиптическое уравнение. Затем Фрей указал на то, что эта эллиптическая кривая такова, что ей не может соответствовать ни одна модулярная форма. Следовательно, если будет доказана теорема Таниямы-Шимуры о том, что каждой эллиптической кривой соответствует модулярная форма, то будет доказана и теорема Ферма.

Оставалось «немного» — доказать, что кривая Фрея действительно не связана ни с одной модулярной формой. И это сделал двумя годами позже, в 1986 году, профессор Калифорнийского университета Кент Рибет. Таким образом, была строго доказана связь между Великой теоремой Ферма и гипотезой Танияма-Шимуры. Дело за малым, доказать гипотезу Таниямы-Шимуры и таким образом доказать Великую теорему Ферма. На это ушло не так много времени, как предполагали большинство математиков, но и труда ушло на это не мало, хоть и сделано это все одним человеком.

Генеральное наступление

И это не метафора. Именно так обставил дело по доказательству гипотезы Таниямы-Шимуры наш последний герой Эндрю Уайлс. Доказать Великую теорему Ферма было его детской мечтой. Уайлс закончил Кембридж, в аспирантские годы занимался эллиптическими функциями, закончив аспирантуру, переехал работать в Принстон. После находок Кента Рибета он решил не публиковать целиком уже готовую, большую работу по исследованию эллиптических функций, а публиковать ее кусками, чтобы создать видимость занятости перед остальными математиками, а сам тем временем посвятил себя работе. Он оборудовал у себя на чердаке кабинет, где проводил все свободное время. Все это время о его работе знала и всячески поддерживала только его жена. Ему удалось сохранить абсолютную конспирацию перед своими коллегами-математиками. Никому и в голову не приходило, что Уайлс занимается доказательством теоремы Таниямы-Шимуры.

Для анализа эллиптических кривых он использовал метод Ивасавы, но к 1991 году этот метод полностью исчерпал все свои резервы. И Эндрю Уайлс понимает, что назрела острая необходимость прервать свое отшельничество и пообщаться с коллегами по цеху в поисках чего-то нового в области эллиптических кривых. Он поехал на конференцию в Бостон, там его бывший руководитель рассказал о новом методе Колывагина-Флаха. Это было как раз то, что нужно. Не забудьте — все это проделывалось, как и прежде, в условиях строгой секретности. Работа закипела с новой силой. И через два года, в мае 1993-го, Уайлс решил, что готов обнародовать полученный результат. Для своего выступления он выбрал весьма подходящее время и место. В Кембридже (альма-матер Уайлса) бывший руководитель Уайлса, Коутс, планировал провести конференцию под названием «L-ряды и арифметика». На ней должны были присутствовать все лучшие специалисты по эллиптическим кривым. Уайлсу выделили две лекции, но он попросил еще одну. Коутс поделился своим временем. Ему было очень интересно, что же хочет сообщить его ученик после стольких лет молчания.

Наступило время лекций, сразу же после первой среди участников конференции поползли слухи о том, что Уайлсу удалось доказать теорему Ферма, после второй лекции слухи пошли гулять уже по всему научному сообществу. Третья лекция вызвала такой ажиотаж, что все желающие не смогли поместиться в аудитории. Вот как вспоминает заключительные моменты своей знаменитой лекции сам Уайлс. «Хотя пресса уже прослышала о докладе, к счастью, журналистов в аудитории не было. Но к концу доклада многие присутствовавшие в аудитории принялись щелкать фотоаппаратами и появился директор Института с бутылкой шампанского в руках. Особая почтительная тишина наступила в аудитории, когда я кончил читать доклад и, повернувшись к доске, написал формулировку Великой теоремы Ферма. «Думаю, на этом мне следует остановиться», — произнес я, и тогда после небольшой паузы раздались аплодисменты».

После лекции, по условиям завещания Вольфскеля, которое действовало до 13 сентября 2007 года, доказательство должно быть рассмотрено компетентной комиссией. Но доказательство Уайлса — это объемный труд, который включает в себя разные области математики, поэтому его разбили на пять частей по логическому содержанию и передали пяти компетентным группам для проверки. Одну из таких групп возглавлял Ник Кац. Он обнаружил проблему и сообщил об этом Уайлсу. Тот не придал ей поначалу особого значения, так как к нему поступало много сообщений об ошибках от всех пяти групп, и, как правило, он их быстро исправлял. Эта тоже показалась ему легкоустранимой, но проблема была глубокой, и Уайлс вновь принялся за работу. Тем не менее проблема никак не поддавалась. По сети уже поползли слухи, что обнаружилась неустранимая ошибка и что вообще все доказательство неверно. Понимая, что одному ему не справиться, Уайлс позвал на помощь своего бывшего аспиранта Ричарда Тейлора. Они вдвоем принялись «латать дыру» в доказательстве, но она не поддавалась. Так в поисках наступил 1994 год. Сеть просто была раскалена слухами. С одной стороны, опровержения доказательства никто не давал, но и доказательство без рецензии не публиковали. Слухи ходили самые разные. Но ни Уайлс, ни Кац ничего не говорили. Так в трудах незаметно наступил сентябрь — Эндрю Уайлс сдался. Он понял — проблема не решается, доказательство зашло в тупик. Напоследок, перед тем как признать свое поражение, он решил все-таки проверить, почему же метод Колывагина-Флаха не работает. И вот утром 19 сентября, в день рождения своей жены, он работал на своем чердаке — и тут неожиданно понял, что там, где не работает метод Колывагина-Флаха, можно применить метод Ивасавы, от которого он отказался в 1991 году. В отдельности оба метода не решают проблему, но в совокупности они полностью достаточны для доказательства. Так 19 сентября 1994 года была разрешена одна из самых сложных математических проблем.

Послесловие

Итак, Великая теорема Ферма доказана. Что же можно сказать о ее доказательстве? Несмотря на общественный ажиотаж, для науки несомненное значение имеет именно доказательство теоремы Танияма-Шимуры. Это очень крупный прорыв в современной математике. Однозначно то, что Великая теорема доказана не так, как ее доказал Ферма, если он вообще ее доказал. Такой математики Ферма не знал и просто не мог знать. Доказал ли ее сам Ферма? Мнения разделились так. Ферма доказал теорему теми математическими методами, которые были в его время, и никто после него не смог повторить этого. Ферма «погорячился» и ему показалось, что он доказал теорему, хотя там была ошибка и он этого даже не знал. Какова правда? Это последняя загадка Ферма, которую мы, возможно, так никогда и не разгадаем.

Другие материалы рубрики


  • Будучи юристом по профессии и занимаясь математикой на досуге, для праздного удовольствия, Пьер де Ферма — как он выразился сам — «… установил множество исключительно красивых теорем». При этом он не представил на суд ни одного доказательства, упомянув, что лично ему все эти задачи удалось решить, бросая, как показало время, вызов не одному поколению сильнейших математиков.

    • Страницы
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4