Великая теорема Ферма

Сб, 08/09/2014 - 20:34

Освежим немного знания школьной геометрии. Прямоугольным треугольником называется такой треугольник один угол которого равен 90о. Остальные два угла могут быть какими угодно, но меньше 90 градусов. Напомним, что сумма всех углов треугольника в Евклидовой геометрии (есть и другие геометрии — и у них по вопросу суммы углов треугольника свое мнение) равна всегда 180о . Самая длинная сторона (а у прямоугольного треугольника всегда есть сторона длиннее других) именуется гипотенуза, две другие — катеты. Так вот, в исполнении самого Пифагора его теорема формулируется так: «Площадь квадрата, одной стороной которого является гипотенуза, равна сумме площадей квадратов, сторонами которых являются катеты».

Сейчас принята несколько иная формулировка: «Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы». Как видно, обе формулировки идентичны по своей сути. Первая является больше геометрической, вторая — алгебраической.

У Пифагора был свой взгляд на природу чисел. Он признавал только рациональные числа. Есть легенда, что когда, исследуя квадратный корень из двух, один ученик Пифагора доказал его иррациональность (иррациональными называются числа, не представимые целыми числами или конечными дробями, т. е. после запятой у них бесконечное число знаков, например число π), Пифагора это так возмутило, что он приказал убить ученика. Позже иррациональность корня из двойки, благо без таких пагубных для себя последствий, как ученик Пифагора, доказал Евклид. Поэтому, зная, что теорема выполняется для любого прямоугольного треугольника, Пифагора интересовали прежде всего те треугольники, стороны которых были равны целым числам, такие треугольники мы называем Пифагоровы, потому что он нашел формулу для их вычисления. Стороны Пифагоровых треугольников получаются из следующих соотношений.

a = 2n + 1; b = 2n(n + 1); c=2n2 + 2n + 1;

На этом мы на время расстанемся с Пифагором и древними греками, так как уже достаточно подготовили почву, чтобы перейти собственно к теореме Ферма.

В V веке до н.э. Пифагор основал пифагорейское братство. Пифагорейцы, помимо прочего, изучали целочисленные тройки, удовлетворяющие равенству x3+y3=z3. Они доказали, что пифагоровых троек бесконечно много, и получили общие формулы для их нахождения. Наверное, они пробовали искать тройки и более высоких степеней. Убедившись, что это не получается, пифагорейцы оставили бесполезные попытки. Члены братства были больше философами и эстетами, чем математиками.

Рождение Великой теоремы Ферма

О детстве и юности Пьера де Ферма известно, к сожалению, немного. Он родился в августе 1601 года (точная дата не известна) в городе Бомон де Ломань во Франции. Он был сыном торговца кожей и заодно второго консула города Доминика Ферма и дочери юриста парламента Клер де Лонг. Начальное образование получил в своем родном городе. Магистерскую подготовку получил в городе Тулуза. Там же в 1631 году Ферма был назначен на должность уполномоченного по прошениям. Женился на кузине своей матери Луизе де Лонг в том же 1631 году (активное у Ферма тридцатилетие получилось, так же плодотворно, к счастью для потомков, он будет трудиться до конца своих дней ). Луиза родила для своего супруга пятерых детей (не за один раз, конечно) — трех сыновей и двух дочерей. В 1648 году Ферма был назначен королевским советником местного парламента и в этой должности пребывал 17 лет до самой смерти 12 января 1665 г.

Ничем не привлекательная жизнь французского чиновника той эпохи. И Пьер де Ферма, очевидно, так и не запомнился бы потомкам, если бы не его увлечение, точнее, одно из его увлечений — математика. Несмотря на то, что о Ферма известно не так уж и много, все же можно предположить, что его служба оставляла достаточно времени для занятия математикой. Давайте кратко опишем математические достижения Ферма, а ему есть чем «похвастаться».

Занимаясь решением задач отыскания касательной к произвольной кривой, Ферма решил ее путем отыскания предела отношения приращения координат в искомой точке, когда оба приращения стремятся к нулю. Читатель, знакомый с математическим анализом, конечно, догадался, что таким образом Ферма фактически (задолго до Ньютона и Лейбница) открыл производную функции. Хотя сам Ферма так широко этот вопрос, как они, не ставил и просто решал задачу о касательной к кривой, тем не менее он сделал некоторые выводы из своего открытия и установил, что в точке экстремума (максимума или минимума функции) угол наклона к касательной равен нулю и таким образом решил задачу об отыскании экстремума функции. Этот метод он разработал в 1628-1629 годах, но только через 10 лет описал его в письме, написанном через священника Мерсена ученому Декарту. В 1934 г. профессор Т. Мор в биографии Ньютона ссылается на письмо, в котором он говорит, что идею дифференциального исчисления он взял из метода Ферма нахождения касательной.

Ферма также установил закон отражения и преломления света. Некоторый вклад Ферма внес в историю античной философии (выше уже было упомянуто, что математика не единственное увлечение Ферма). Но главное открытие Ферма было сделано, совсем в другой области математики — теории чисел. Это не единственное открытие Ферма в этой области математики, но именно оно увековечило его имя.

Были в истории науки два великих человека, благодаря которым до наших дней дошли знания древних греков, вавилонян, египтян в области математики вообще и геометрии в частности. Их имена сейчас широко известны — и это справедливо. Речь идет, как вы, наверное, догадались, об Евклиде и Диофанте.

Другие материалы рубрики


  • Прошло ровно 40 лет после смерти Ферма, когда в 1705 году в семье священника Пауля Эйлера появился на свет следующий гений математики, внесший первый вклад в решение теоремы Ферма. Леонард Эйлер долгое время жил и работал в России, где и умер в 1783 году, дожив до глубокой старости даже по современным меркам. Математическое наследие Леонарда Эйлера невероятно богато. Мы же коснемся лишь той его части, которая непосредственно относится к теореме Ферма.

    • Страницы
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4