Великая теорема Ферма

Сб, 08/09/2014 - 20:34

Евклид трудился в знаменитой Александрийской библиотеке, и заслуга его в том, что он систематизировал все знания по геометрии и арифметике, которые были известны к тому времени, и изложил их в своем знаменитом труде «Начала». Лучше которого, по-моему, не написано и по сей день. Для всех, кто интересуется геометрией, арифметикой, теорией чисел и другими вопросами математики, можно рекомендовать ее как настольную книгу. Многие величайшие ученые постигали математику по «Началам». В их ряду стоит упомянуть хотя бы такие имена, как Ньютон и Эйнштейн — и ценность книги станет понятной. Книга (вернее, книги, их там 15) после некоторого привыкания к стилю изложения читаются довольно легко.

О Диофанте известно мало. Зато хорошо известен его научный труд под названием «Арифметика». Это тоже несколько книг, а именно 13 (многотомник, как сказали бы мы сейчас), но, к сожалению, с менее счастливой судьбой, чем у евклидовых «Начал», — до наших дней сохранились только 6 из 13 книг. Диофант нам известен еще задачей, высеченной на своем надгробии, решив которую, можно узнать возраст, в котором умер Диофант. Уравнения, решение которых требуется найти строго в целых числах, носят его имя — Диофантовы уравнения.

По-видимому Диофантова «Арифметика», выполненная в латинском переводе Клодом Баше, была настольной книгой и Пьера Ферма, и в ней он нашел много задач, связанных с теоремой Пифагора. В том числе и с ее решением в целых числах. Размышления над Пифагоровыми треугольниками натолкнули его на мысль о разрешении этой задачи в целых числах со степенями большими 2. Например, можно ли подобрать тройку целых чисел, которые удовлетворяли бы уравнению при степени равной трем.
X3 +Y3 = Z3, где X, Y, Z — целые числа. Ферма утверждал, что данное уравнение не разрешимо при любых, сколь угодно больших степенях, больших второй степени.

Xn + Yn = Zn
X, Y, Z — целые, n >2.
Это и есть Великая теорема Ферма.

Была у Ферма одна привычка, присущая многим современным школьникам и студентам, — любил он делать записи на полях книг. Писал он и на полях диофантовой «Арифметики». Нужно заметить, писал не абы что, а всякие математические утверждения и наметки их доказательств. На полях «Арифметики» таких утверждений набралось 48 штук, которые, как заявил Ферма, он доказал, но доказательств не представил. Комментарий к задаче об отыскании решений уравнения x2 + y2 = a2 в рациональных числах в личном экземпляре Ферма «Арифметики» Диофанта в переводе Баше гласит: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и, вообще, никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем».

«Cuius rei demonstrationem mirabilem sane setex hanc marginis exiguitas non caparet» (Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля здесь слишком узки для того, чтобы вместить его.) Вообще, этой своей манерой не предоставлять доказательств Ферма очень злил, да что там злил — приводил в бешенство математиков той эпохи. И они в свою очередь неоднократно резко высказывались в его адрес. Например, Декарт намекал на то, что месье Ферма гасконец, а это тогда понималось как болтун и хвастун. Все бы ничего, мало ли кто и что утверждает. Ну, сказал Ферма, что он, видите ли, что-то доказал, вот представит доказательства — тогда и разговор будет, не он первый хвастун в науке и не он последний, чего тут злиться. Почему весь ученый мир тех времен утратил свое хладнокровие при упоминании Ферма? Тут все дело в том, что в то время все утверждения Ферма делились на два вида: либо доказанные (кем-то другим, ведь Ферма не считал нужным приводить доказательства), либо не опровергнутые. В то время Ферма не знал ошибок. Позже удалось доказать, что так называемые простые, по Ферма, числа не все простые, но и это нельзя причислять к его ошибкам, так как Ферма только предположил, что они простые, но вовсе не утверждал, что доказал это их свойство. Трудно представить более невыносимую ситуацию для психики амбициозного математика (коими являются все великие математики), чем ту, в которую их загнал «король любителей», французский чиновник среднего ранга Пьер де Ферма. И, конечно же, они негодовали и высказывались…, нелестно высказывались о Ферма, которому, похоже, и дела до них и их характеристик не было. По всей видимости, Ферма был очень уравновешенным человеком.

Мало того, что Ферма не публиковал своих доказательств, он еще и не все все теоремы являл миру. Очевидно, огромное научное наследие Пьера Ферма ушло вместе с ним в 1665 году, когда он умер. И те без малого пять десятков теорем, которые, как мы знаем, он начертал на полях «Арифметики» Диофанта, тоже, вероятно, канули бы в Лету, если бы не его сын Клеман-Самюэль, который в течение пяти лет скрупулезно разбирал заметки отца и в 1670 году опубликовал книгу «Диофантова Арифметика, содержащая примечания Пьера де Ферма». С этого момента величайшие математики на протяжении 324 лет одну за другой доказывали теоремы Ферма, и последняя была доказана в 1994 году — это была Великая теорема Ферма.

История ее доказательства интересна и полна интриг, как сюжет хорошего детективного романа. Она разбивала сердца и спасала от смерти, она знала невероятные всплески интереса к себе и эпохи забвения, при попытках ее доказать зарождались основополагающие математические теории. Неоднократно математическое сообщество, махнув рукой на эту теорему, полагало ее недоказуемой, и вдруг неожиданно появлялись обнадеживающие результаты, которые не оправдывались, — и так много раз на протяжении 324 лет. Когда в 1994 году Эндрю Уайлс, после долгих лет непрерывной работы над ее доказательством, был готов признать свое поражение, он вдруг неожиданно отыскал недостающее звено и «залатал дыру» в своем доказательстве. Обо всем этом —во второй части статьи.

Другие материалы рубрики


  • Прошло ровно 40 лет после смерти Ферма, когда в 1705 году в семье священника Пауля Эйлера появился на свет следующий гений математики, внесший первый вклад в решение теоремы Ферма. Леонард Эйлер долгое время жил и работал в России, где и умер в 1783 году, дожив до глубокой старости даже по современным меркам. Математическое наследие Леонарда Эйлера невероятно богато. Мы же коснемся лишь той его части, которая непосредственно относится к теореме Ферма.

    • Страницы
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4